大发黄金版客户端但是大部分篇幅集中与Bezier(B Spline的特殊形式)

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文章关键词:大发黄金版客户端,非均匀有理

  本系列的主题是“NURBS”,但是大部分篇幅集中与Bezier(B Spline的特殊形式),B Spline。之所以这么安排,是因为NURBS与B样条可以轻松的互相转换,B样条的计算方法,均可以应用到NURBS(非均匀有理B样条)上。

  我们之前已经提到,B样条是分段的多项式函数。在设计上,大发黄金版客户端B样条的应用十分广泛,但是,B样条却不能表达所有的曲线类型,比如说圆、椭圆、双曲线等。如下图,从左至右是利用阶数为2,3,510次B样条曲线拟合圆的效果,可以看到,大发黄金版客户端随着曲线阶次增高,大发黄金版客户端曲线越来越“圆”,但是即使是10次曲线仍然不能精确的表达圆。为了表达这些曲线类型,需要将无理B样条曲线扩展到有理B样条曲线)定义

  将B样条的控制点P写成齐次坐标(homogeneous coordinates)形式:$$P_i^w=

  \end{bmatrix}$$将齐次坐标转换为笛卡尔坐标,就是讲上述表达式的4个坐标同时除以第四维坐标:$$C(u)=

  相对于B样条,Nurb每个控制点均有对应的权重\(w_i\)。一般情况下,\(w_i\)为正数,当权重为0的时候,控制点\(P_i\)对曲线的形状完全没有影响,这个控制点称为“infinite”控制点,有特殊的应用。而且,可以观察到,NURBS的定义为有理曲线(两个关于u的p次多项式的商的形式)形式。

  由\(w_iP_i\)定义的NURBS曲线为四维控制点 \(\begin{bmatrix}w_iP_i\\w_i\end{bmatrix}\)定义的B样条在\(w=1\)上的投影。

  作为B样条的一般形式,NURBS与B样条的大部分性质都是相同的。不同之处在于透视变换的不变性。B样条仅支持仿射变换的不变性,NURBS更是增加了对透视变换的不变性,这使得NURBS在计算机图形、视觉、动画方面的应用及其广泛:人眼的视角观察到的目标都是经过透视变换的。当然,透视变换改变了权重。关于透视变换与仿射变换。可以参考Dr.shene的课件Geometric Transforms。

  根据NURBS的定义,我们可以将NURBS曲线看做四维B样条在\(w=1\)上的投影,因此,所有针对NURBS的计算(正算,不讨论插值、拟合等问题),都可以用三步解决:

  将结果投影到\(w=1\)上,即前三维除以第四维,得到三维坐标,即是NURBS所求点。

  \frac{A}{A+B}(P_k-C^0(u))$$这也佐证了当w增大时,曲线远离原曲线而更靠近控制点,而且,可以看到,曲线的位移向量与原曲线(u)\)到控制点\(P_k\)的向量同方向,并且模长为后者的\(\frac{A}{A+B}\)倍。

  对照上图,当\(w_4=0\)时,对应的曲线到50增长时,分别用不同颜色的线绘制出对应的NURBS曲线)当权重不断增大时,曲线越来越向控制点\(P_4\)靠拢。

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